গণিতের নিয়ে আলোচনা পর্ব-০২

বর্গের অন্তর
প্রশ্নধরণ: বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

টেকনিকঃবড় সংখ্যা=(বর্গের অন্তর+1)÷2


উদা:দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 47 হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধানঃ বড় সংখ্যা=(47+1)/2=24


প্রশ্নের ধরণ: দুইটি বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

টেকনিকঃ ছোট সংখ্যাটি=(বর্গের অন্তর -1)÷2


উদা:

প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 33। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধানঃ ছোট সংখ্যাটি =(33-1)÷2=16(উঃ)


প্রশ্নে যত বড....তত ছোট/ তত ছোট....যত বড উল্লেখ থাকলে সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে


টেকনিকঃসংখ্যাটি =(প্রদত্ত সংখ্যা দুটির যোগফল)÷2


উদা:

প্রশ্নঃএকটি সংখ্যা 742 থেকে যত বড় 830 থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধানঃ সংখ্যাটি=(742+8 30)÷2=786 উঃ



নিজে করুন: 

১।একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

২।একটি সংখ্যা ৫৫৩ থেকে যত বড় ৬৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

৩। দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি ১০১ হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত?

৪। দুইটি ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর ৯৩।

৫। দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি ১৯৯হয় তবে ছোট সংখ্যাটি কত?


উঃ1)735, 2)602, 3)51, 4)46,47, 5)99


গণিতের শর্ট টেকনিক 
প্রশ্নঃ এক ব্যক্তি তার বাড়ি থেকে ৮ টায় যাত্রা শুরু করে। ২ কিমি/ঘণ্টায় বেগে হাটল এবং ৪৫ মিনিট দেরীতে অফিসে পৌঁছাল। পরবর্তী দিন সে একই সময়ে যাত্রা শুরু করে ৪ কিমি/ঘণ্টা বেগে হাটল এবং ১৫ মিনিট আগে অফিসে পৌঁছাল। তার বাড়ি থেকে অফিসের দূরত্ব কত?

(ক) ৬ কিলোমিটার

(খ) ৪ কিলোমিটার

(গ) ৯ কিলোমিটার

(ঘ) ১২ কিলোমিটার

(ঙ) কোনটিই নয়


শর্টটেকনিক সমাধানঃ


আসুন কীভাবে প্রশ্ন চিনবেন:


১। দুই ধরণের গতিবেগ দেয়া থাকবে (S1, S2) => 2km/h, 4 km/h।

২। Early/Late/Longer দেয়া থাকবে => Late 45 Minutes, Early 15 Minutes।

৩। আপনাকে মধ্যবর্তী দূরত্ব বের করতে হবে => D =?


Formula: (D/S1 - Late time) = (D/S2 + Early time)


যেমন:

(D/2 - 45/60) = (D/4 + 15/60)

[সময় মিনিটে দেয়া আছে, তাই 60 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে]

=> (D/2 - D/4) = (15/60 + 45/60)

=> {(2D - D)/4} = {(15+45)/60)

=> D/4 = 60/60

=> D/4 = 1

=> (D*1) = (4*1) [আড়গুণ করে]

সুতরাং - D = 4


উত্তরঃ (খ) ৪ কিলোমিটার

সংখ্যা নির্ণয়
টাইপ-১

এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা একটি সংখ্যা হতে যত বড় অপর একটি সংখ্যা হতে তত ছোট। (৩০তম বিসিএস)

অথ্যাত্ দুটি সংখ্যা দেওয়া থাকবে অপর একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।


টেকনিক:

নির্ণেয় সংখ্যাটি=(১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা)/২


উদা: একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ থেকে তত ছোট । সংখ্যাটি কত?

উত্তর: সংখ্যাটি=(৩০১+৩৮১)/২

=৩৪১


-------

টাইপ-২

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকবে সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করতে হবে।(২৬ তম বিসিএস)


টেকনিক: 

ছোট সংখ্যা=(বর্গের অন্তর-১)/২

বড় সংখ্যা =ছোট সংখ্যা +১


উদা: দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন , যাদের বর্গের অন্তর ৪৭।

উত্তর: 

ছোট সংখ্যা=(৪৭-১)/২=২৩

বড় সংখ্যা=২৩+১ =২৪

উত্তর; সংখ্যা দুইটি ২৩,২৪


-------

টাইপ-৩

কোন লঘিষ্ঠ বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে আরেকটি সংখ্যা যোগ করলে যোগফল আবার ৩/৪ টি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে।(২৬তম /৩০তম বিসিএস)


টেকনিক:

নির্ণেয় সংখ্যা= প্রদত্ত সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু -- যা যোগ করতে বলা হবে (মনে রাখা ভালো: যা যোগ করতে বলবে তা ল.সা.গু থেকে বিয়োগ করতে হবে) 


উদা: কোন লঘিষ্ঠ বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাহে ৩ যোগ করলে ২৪,৩৬, ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে।(২৬তম বি.সি.এস)


উত্তর: 

২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু=১৪৪

নিণেয় সংখ্যা= ১৪৪-৩=১৪১ 

অনুপাতের মিশ্রণ। 
টেকনিক -১

মিশ্রণে যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দু্ইটির পার্থক্য যদি একই হয় তখন।


নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ={(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)}X অনুপাতের পার্থক্য। 


উদা: ৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত হবে ৩:৭।


লক্ষ্য করুন: এখানে অনুপাতের অন্তর উভয় ক্ষেত্রেই (৭-৩=৪) একই ।


অতএব, সূত্র মতে নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ={(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)}X অনুপাতের পার্থক্য। 

বা, নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(৩০/৩)X ৪

=৪০লিটার । (উত্তর)



টেকনিক -২

মিশ্রণে যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দু্ইটির পার্থক্য যদি ভিন্ন হয় তখন


নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/১মঅনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল। )


উদা: ২৫ গ্রাম একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১। গহনাটিতে আর কতটুকু সোনা যোগ করলে এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:১ হবে?


লক্ষ্য করুন: এখানে অনুপাতের অন্তর উভয় ক্ষেত্রেই ভিন্ন। যেমন: ৪-১=৩ আবার ৫-১=৪। 

অতএব , সূত্রমতে নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/১মঅনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল। )

বা, নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ= ২৫/(৪+১)=৫ (উত্তর) 


নিজে নিজে করুন

প্রশ্ন:১।৩২ লিটার অকটেন- পেট্রোল মিশ্রেনে , পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫:৩। এতে আর কত অকটনে মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত হবে ৪:৫? ।


২।২১লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৪ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৪ হবে?


৩। ৪২গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:৩ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:৩ হবে?


৪। ৩০লিটার পরিমাণ এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩ । ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?


৫। একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম ।সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১ হবে?


৬।৬০লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৭ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৭ হবে?


উত্তর:

১/ ৪। 

২/৭। 

৩/৬। 

৪/৪০। 

৫/৪ 

৬/৮০

অনুপাতের ভাগ
ক্যালকুলেটর ছাড়া অনুপাতের ভাগ করতে পারবেন??

 না পারলে টেকনিক দেখুন


সমস্যা ১ 

৪৫০ কে ৫:৪ ভাগে ভাগ করুন।

টেকনিক

৪৫০ এর শুন্য বাদ দিন। ৪৫ হবে....তারপর অনুপাতের (৫+৪) করলে ৯হয়।


এখন ৪৫কে ৯দিয়ে ভাগ করে ৫ দিয়ে গুন করলে ২৫ হয়।

অপরদিকে, ৪৫কে ৯দিয়ে ভাগ করে ৪দিয়ে গুন করলে হয় ২০।

এখন ২৫এর সাথে একটি শুন্য(০) এবং ২০এর সাথে একটি শুন্য(০) বসিয়ে দিলেই--- কেল্লাফতে!!!!!

উত্তর হবে:- ২৫০:২০০।

এখনো না বুঝলে, আরেকবার পড়ুন। 


সমস্যা ০২:

১০০০ কে ২:৩:৫ অনুপাতে ভাগ করুন ।


টেকনিক: 

(সমস্যা:-১ এর মতই)

প্রথমে মনে মনে ১০০০ এর একটি শুন্য রেখে, বাকি দুইটা বাদ দিন। তারপর (২+৩+৫) করলে ১০ হবে।

১০কে ১০দিয়ে ভাগ,দুই দিয়ে গুন করলে ২হবে।

১০কে ১০দিয়ে ভাগ,তিন দিয়ে গুন করলে ৩হবে।

১০কে ১০দিয়ে ভাগ,পাঁচ দিয়ে গুন করলে ৫হবে ।


[[ বলে রাখা ভাল, এখানে ১ম ১০ হলো ১০০০থেকে দুটি শুন্য বাদ দেয়া ১০। আর,২য় ১০ হলো ২+৩+৫ যোগ করা ১০ ]]


এখন, ২,৩,৫ এর সাথে দুটি করে শুন্য(০) বসিয়ে দিলেই কাজ শেষ!!!

উত্তর: ২০০:৩০০:৫০০।