প্রায় পরীক্ষায় আসা গুরুত্বপূর্ণ প্রস্তুতি গণিত-২

১। কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে?

সমাধান:-

ধরি, সংখ্যাটি = x

শর্তমতে, √x+ ১০=৪^২

বা, √x= ১৬−১০

বা, (√x)^2= ৬^২

x= ৩৬

নির্ণেয় সংখ্যাঃ-৩৬।

২। ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত কতগুলো মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:-

১ থেকে ৩১ এর মধ্যে ১১ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

যথাঃ-২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১।

৩।পর পর ৩ টি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত হবে?

সমাধান:-

এখানে ক্রমিক সংখ্যা যেকোন ৩ টি হতে পারে।

১,২,৩; ২,৩,৪; ৩,৪,৫; ৪,৫,৬; ৫,৬,৭;………….

উপরের ক্রম থেকে ৪,৫,৬ এই সংখ্যা গুলো গুণ করলে (৪×৫×৬=১২০) হয় এবং (৪+৫+৬=১৫) হয়।

অতএব উত্তর:-১৫

৪। দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০। সংখ্যা দুটি কি কি?

সমাধান:-

ধরি,

সংখ্যা দুটি ৩x ও ৪x

শর্তমতে, ১২ x= ১৮০

=>x= ১৮০/১২

=>x =১৫

অতএব সংখ্যা দুটি হলোঃ

(১৫x ৩= ৪৫) ও (১৫x ৪=৬০)

উত্তরঃ-৪৫,৬০

৫। ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?

সমাধান:-

১ কিমি=১০০০০০০মিমি

অতএব, ১মিলি, ১ কিমি এর ১/১০০০০০০ অংশ

৬। ০.২৫ কে সামান্য ভগ্নাংশে পরিণত করলে হবে____?

সমাধান:-

০.২৫=২৫/১০০

বা,১/৪

৭। ক,খ ও গ এর বেতনের অনুপাত ৭:৫:৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশি পেলে, ক এর বেতন কত?

সমাধান:-

ধরি, ক এর বেতন = ৭x

খ এর বেতন = ৫x

গ এর বেতন = ৩x

প্রশ্নমতে,

৫x−৩x= ২২২

বা, ২x= ২২২

বা, x= ১১১

অতএব, ক এর বেতন (৭×১১১=৭৭৭)

উত্তরঃ-৭৭৭

৮। এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫:৩ এবং তার মাসিক সঞ্চয় ১০,০০০ টাকা হলে তিনি কত টাকা আয় করেন?

সমাধান:-

ধরি,

আয়=৫x

ব্যয়=৩x

শর্তমতে, ৫x−৩x= ১০,০০০

বা, ২x= ১০,০০০

বা, x= ৫০০০

অতএব, আয়ের পরিমাণ (৫×৫০০০)=২৫০০০

উত্তর:২৫০০০ টাকা।

৯। দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার অনুপাত ১:২। সংখ্যা দুটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও x+২

প্রশ্নমতে, x:x+2= ১:২

বা, x/(x+2)=1/2

বা, 2x= x+2

অতএব, x=2

সংখ্যা দুটি হলো ২ ও (২+২)=৪

উত্তর: ২ ও ৪

১০। একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১। এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে?

সমাধান:-

অনুপাতগুলোর যোগফল=৩+১=৪

৪ অনুপাত সমতুল্য=১৬ গ্রাম

১ অনুপাত সমতুল্য=(১৬÷৪)=৪ গ্রাম

সুতরাং ৪ গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত হবে, (৩+১):১=৪:১

অতএব, ৪ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।

১১। ০.২, ০.০৪, ০.০০৮, ০.০০১৬ ধারাটির পরবর্তী পদ কত?

সমাধান:-

১ম পদ = ০.২

২য় পদ = (০.২)^২=০.০৪

৩য় পদ = (০.২)^৩=০.০০৮

৪র্থ পদ = (০.২)^৪=০.০০১৬

এবং ৫ম পদ = (০.২)^৫=০.০০০৩২

উত্তরঃ-০.০০০৩২।

১২। ১, ৫, ৩, ৮,…………. ধারাটির অষ্টম পদ কত হবে?

সমাধান:-

ধারাটির বিজোড় স্থানের পদ গুলো হচ্ছে, ১,৩,…….

ধারাটির জোড় স্থানের পদ গুলো হচ্ছে, ৫,৮,…….

অতএব, ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ = ৮+৩=১১

৮ম পদ হল = ১১+৩=১৪

উত্তর:-১৪

১৩। শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে ৮৫০ টাকার ৫ বছরের সুদ কত? সুদ-আসল কত?

সমাধানঃ

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪ টাকা

১ ” ১ ” ” ৪/১০০ ”

১ ” ৫ ” ” ৪x৫/১০০ ”

৮৫০ ” ৫ ” ” ৪x৫x৮৫০/১০০ ” বা, ১৭০ টাকা

নির্ণেয় সুদ ১৭০ টাকা এবং সুদ-আসল (৮৫০+১৭০) টাকা বা, ১০২০ টাকা।

১৪। শতকরা বার্ষিক ২.৫ টাকা হার সুদে কত টাকার ১০ বছরের সুদ ২০০ টাকা হবে?

সমাধানঃ

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ২.৫ টাকা

১০০ ” ১০ ” ” ২.৫x ১০ টাকা বা, ২৫ টাকা

সুতরাং, সুদ ২৫ টাকা হলে আসল হয় ১০০ টাকা

” ১ ” ” ” ” ১০০/২৫ টাকা

” ২০০ ” ” ” ” ১০০x২০০/২৫ টাকা বা, ৮০০ টাকা।

নির্ণেয় আসল ৮০০ টাকা।

১৫। শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে ৭০০ টাকার ৫ বছরোর সুদ ১০৫ টাকা হবে?

সমধানঃ

৭০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ১০৫ টাকা

৭০০ ” ১ ” ” ১০৫/৫ টাকা

১ ” ১ ” ” ১০৫/ (৫x৭০০) ”

১০০ ” ১ ” ” (১০৫x১০০) / (৫x৭০০) টাকা বা, ৩ টাকা।

নির্ণেয় সুদের হার ৩ টাকা। উত্তরঃ ৩%

১৬। শতকরা বার্ষিব ৬ টাকা হার সুদে কত বছরে ৪৫০ টাকা সুদে- আসলে ৫৫৮ টাকা হবে?

সমাধানঃ

এখানে সুদ = (৫৫৮ – ৪৫০) টাকা = ১০৮ টাকা।

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৬ টাকা

১ ” ১ ” ” ৬/১০০ ”

৪৫০ ” ১ ” ” ৬ x ৪৫০ / ১০০ টাকা বা, ২৭ টাকা।

৪৫০ টাকার সুদ ২৭ টাকা হয় ১ বছরে

৪৫০ ” ” ১ ” ” ১/২৭ ”

৪৫০ ” ” ১০৮ ” ” ১x১০৮/২৭ বা, ৪ বছরে।

নির্ণেয় সময় ৪ বছর।

১৭। শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সুদে কোনো আসল কত বছরে সুদে-আসলে দ্বিগুণ হবে?

সমাধানঃ

মনেকরি,

আসল ১০০ টাকা। অতএব, সুদ-আসল ১০০ টাকার দ্বিগুণ হবে অর্থাৎ, ২০০ টাকা হবে এবং সুদ (২০০ – ১০০) টাকা বা, ১০০ টাকা।

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫ টাকা।

৫ টাকা ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ

১ ” ” ” ১/৫ ” ”

১০০ ” ” ” ১x১০০/৫ ” ” বা, ২০ বছরের সুদ।

নির্ণেয় সময় ২০ বছর।

১৮। 9 % হারে কত টাকা 4 বছরে মুনফা-আসল 10200 হবে?

সমাধানঃ-

ধরি,

আসল=P টাকা

মুনাফার হার r=9%=9/100

সময় n=4 বছর

মুনাফা-আসল A=10200 টাকা

আমরা জানি,

মুনাফা-আসল A=P(1+nr)

বা, P=A/(1+nr)

বা, P=10200/(1+4*9/100)

বা, P=10200/(1+36/100)

বা, P=10200/(1+9/25)

বা, P=10200/(36/25)

বা, P=10200*25/36

বা, P=7500

অতএব, আসল P=7500 টাকা

১৯। একই হার মুনাফায় কোনো আসল ৬ বছরে মুনাফা-আসলে দ্বিগুন হলে,কত বছরে তা মুনাফা-আসলে তিন গুন হবে?

সমাধান:-

মনে করি,

আসল = ক টাকা

. ‘. মুনাফা আসল=( ২*ক) = ২ক টাকা।

. ‘. মুনাফা =(২ক – ক) = ক টাকা

আবার,

মুনাফা আসল = (৩*ক) = ৩ক টাকা।

. ‘. মুনাফা = (৩ক – ক) = ২ ক টাকা।

এখন,

ক টাকা মুনাফা হয় = ৬ বছরে

. ‘. ১ টাকা মুনাফা হয়= ৬/ক

. ‘. ২ক টাকা মুনাফা হয় = ৬*২ক/ক

= ১২ বছর।

২০। বার্ষিক শতকরা কত মুনাফায় কোনো আসল ৮ বছরে মুনাফা-আসলে দ্বিগুন হবে?

সমাধানঃ-

মনে করি,

আসল= ক টাকা

সুতরাং ৮ বছরে মুনাফা আসল (২*ক) = ২ ক টাকা

অতএব মুনাফা = ( ২ক – ক) = ক টাকা

এখন, ক টাকায় ৮ বছরে মুনাফা = ক টাকা

১ টাকায় ১ বছরে মুনাফা = ক÷(ক*৮)

১০০ টাকায় ১ বছরে মুনাফা =(ক*১০০) ÷(ক*৮) = ১২.৫০ %

উত্তর : মুনাফার হার ১২.৫০%।

২১। কোনো নিদিষ্ট সময়ে মুনাফা-আসল ৫৬০০ টাকা এবং মুনাফা,আসলের ২/৫ অংশ।মুনাফা বার্ষিক শতকরা ৮ টাকা হলে,সময় নির্ণয় কর?

সমাধান:-

মনে করি,

মুনাফা = ২ক টাকা, আসল = ৫ ক টাকা অতএব মুনাফা আসল = (২ক+৫ক) = ৭ক টাকা।

প্রশ্নমতে,

৭ক = ৫৬০০ টাকা

. ‘. ক = (৫৬০০÷ ৭) = ৮০০ টাকা।

. ‘. মুনাফা = ২*৮০০ = ১৬০০

. ‘. আসল = (৫*৮০০) = ৪০০০ টাকা।

এখন, ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা= ৮ টাকা

. ‘. ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ৮/১০০

. ‘. ৪০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা ৮*৪০০০/১০০ = ৩২০ টাকা।

সুতরাং ৩২০ টাকা মুনাফা হয় = ১ বছরে ১ টাকা মুনাফা হয় = ১/৩২০ ১৬০০ টাকা মুনাফা হয় = ১*১৬০০/৩২০ = ৫ বছরে।

২২। বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা মুনাফায় ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:-

0

দেওয়া আছে,

মূলধন P = ৫০০০ টাকা

মুনাফার হার r = ১০%

এবং সময় n = ৩ বছর

আমরা জানি,

সরল মুনাফা I = Prn

= ৫০০০×১০/১০০×৩

1500

আবার,

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা C = P( ১+r)^n -P

= ৫০০০×(১+১০/১০০)^৩ -৫০০০

= ৫০০০×(১১০/১০০)^৩ -৫০০০

= ৫০০০×১১০/১০০×১১০/১০০×১১০/১০০-৫০০০

1655

1655

. ‘ .চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফার পার্থক্য = ১৬৫৫-১৫০০

155

. ‘ . নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফার পার্থক্য = ১৫৫ টাকা।

২৩। বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৩০০০ টাকা এবং ৮% মুনাফায় ২০০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের ওপর গড়ে শতকরা কত টাকা হারে মুনাফা পাওয়া যাবে?

সমাধান:-

3000 টাকায় 10%সুদে মোট মুনাফা 300টাকা । 2000টাকায় 8%সুদে মোট মুনাফা 160টাকা । 3000+2000=5000টাকায় মোট মুনাফা 300+160=460টাকা । এখন,, 5000টাকায় এক বছরে মুনাফা 460টাকা । সুতরাং 100টাকায় এক বছরের মুনাফা 460X100/5000=9.2%

২৪। একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধন:-

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩ক আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =ক

প্রশ্নমতে , ৩ক২=৭৬৮ ক২=২৫৬ সুতরাং ক =১৬ তাহলে প্রস্থ =১৬ দৈর্ঘ্য = ৪৮ পরিসীমা= ২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) = ২ x ৬৪ =১২৮ তাহলে , বর্গের বাহু = ১২৮/৪ = ৩২

২৫। একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার কম এবং প্রস্থ ৩ মিটার অধিক হলে এর ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার দৈর্ঘ্য ৫ মিটার অধিক ও প্রস্থ ২ মিটার কম হলেও এর ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:-

ধরা যাক , আয়তক্ষেত্রের দীর্ঘ = x প্রস্থ = y

১ম শর্তে , (X-5)(y+3)= xy or, 3x-5y=15 ২য় শর্তে , (x+5)(y-2)=xy or , -2x +5y =10

সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই , x=25 x এর মান বসিয়ে পাই , y=10

২৬। x এর কোন মানের জন্য f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 8 এর লঘু মান থাকবে?

সমাধান:-

x^3 – 6x^2 + 9x – 8

= x^3 – 3*x^2*2 + 3*x*2^2 – 2^3 – 3x

= (x-2)^3 – 3x

সুতরাং, f(x) = (x-2)^3 – 3x

এখন,

x= 2 হলে, f(2) = -6

x=3 হলে, f(3) = -8

x=1 হলে, f(1) = -4

x=4 হলে, f(4) = -4

এখানে সবচেয়ে ছোট মান -8

সুতরাং x এর মান 3 হলে f(x) এর মান লঘু হবে।

২৭। 3x-4y=7 6x-8y-6=0 হলে x ও y এর মান কত? এবং সসম্পর্ক কি?

সমাধান:-

x ও Y এর কোন মান নেই। এদের সম্পর্ক হলো এরা সমান্তরাল।

২৮। (6x-y,13)=(1,3x+2y) হলে, (x,y) নির্ণয় কর?

সমাধান:-

দেওয়া আছে,

6x – y = 1 ———- (i)

3x + 2y = 13———(ii)

এখন, (i) কে 2 এবং (ii) কে 4 দ্বারা গুন করে পাই,

12x – 2y = 2 ———-(iii)

12x + 8y = 52——–(iv)

আবার, সমীকরন (iv) – (iii) হতে পাই,

10y = 50

বা, y = 5

y এর মান (i) নং- এ বসিয়ে পাই,

12x + 8 X 5 = 52

বা, 12x + 40 = 52

বা, 12x = 52 – 40

বা, 12x = 12

বা, x =12/12

বা, x = 1

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (1,5)

২৯। একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৫ মিটার প্রস্থ ৪ মিটার, এবং উচ্চতা ৩ মিটার ৷ এ চৌবাচ্চাটি পানি দ্বারা পূর্ণ হলে , চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরবে?

সমাধান:-

আমরা জানি,

চৌবাচ্চার আয়তন= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ X উচ্চতা।

= ৫ X ৪ X ৩ ঘন মিটার

= ৬০ ঘন মিটার

আবার আমরা জানি,

১ ঘনমিটারে পানি ধরে= ১০০০ লিটার।

সুতরাং, ৬০ ঘনমিটারে পানি ধরে = ১০০০ X ৬০ লিটার

=৬০,০০০ লিটার।

উত্তরঃ ৬০,০০০ লিটার