প্রায় পরীক্ষায় আসা গুরুত্বপূর্ণ প্রস্তুতি গণিত-০১

১। এক গাড়ির সমানের চাকার পরিধি ৩মিটার , পিছনের চাকার পরিধি ৪মিটার । গাড়ি কত পথ গেলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১০০ বার বেশি ঘুরবে?

২। এক ঘোড়ার গাড়ির সমানের চাকার পরিধি ২মিটার , পিছনের চাকার পরিধি ৩মিটার । গাড়ি কত পথ গেলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১০ বার বেশি ঘুরবে?



৯। চৌবাচ্চা সংক্রান্ত অংক করুন ৩০ সেকেন্ডে:

বিসিএসসহ নিয়োগ পরীক্ষা যারা দিচ্ছেন তাদের বলছি। কম সময়ে অনেক একটু জটিল অংক করতে হয়। তবে টেকনিক জানা থাকলে তা নিমিষেই করা সম্ভব!

টেকনিক জানা থাকলে মাত্র ২৫ থেকে ৩০ সেকন্ডেই সমাধান করতে পারবেন এসব অংক।

টেকনিক-১

যখন ২টি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয়

সময়, T=[mn ÷(m + n)]

এখানে,

m=১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময়

n=২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময়

প্রশ্ন-১. একটি চৌবাচ্চা ২টি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ ও ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দু’টি একসংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?

সমাধানঃ

প্রয়োজনীয় সময়,

T= [mn ÷ (m + n)]

= (৩০ × ২০) ÷ (৩০ + ২০)

= ৬০০÷৫০

= ১২ মিনিট

উত্তর: ১২ মিনিট

এবার চলুন একটু ভিন্ন ধরনের ১টি অংক দেখা যাকঃ

প্রশ্ন- ২. সম্পুর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘন্টায় সম্পুর্ণ ভর্তি করা যায়। অপর একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৩ ঘন্টা সময় লাগে। ২টি পাইপ একসংগে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটি ২/৩ অংশ পূর্ন করতে কত সময় লাগবে?

লক্ষ্য করুন, প্রশ্নের শেষে লিখা আছে দু’টি পাইপ একসংগে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটি ২/৩ অংশ পূর্ণ করতে কত সময় লাগবে?

(পুরো চৌবাচ্চাটির পূর্ণ হওয়ার কথা প্রশ্নে উল্লেখ না করে যদি (২/৩ অংশ বা ৪/৫ অংশ বা ১/৩ অংশ) পূর্ণ হতে কত সময় লাগে এভাবে উল্লেখ থাকে; তবে আপনি যত অংশ বলবে তত দিয়ে উত্তরকে গুণ করে দেবেন।)

যেমন উপরের অংকটির ক্ষেত্রে,

প্রয়োজনীয় সময়,

T = [mn ÷ (m +n) × ২/৩]

= [(৩ × ৫)÷(৩+৫) × ২/৩ ]

= [১৫/৮ × ২/৩ ]

= ৫/৪ ঘন্টা

উত্তর : ৫/৪ ঘন্টা

[ বি:দ্র: নতুন কিছুই হয়নি শুধু ২/৩ দিয়ে গুন করে দেয়া হয়েছে ]

পিপা/ট্যাংক/চৌবাচ্চা সংক্রান্ত অংকগুলো ৩৬ সেকেন্ডে সম্পন্ন করা খুব কঠিন ব্যাপার। শুধু ২টি টেকনিক মনে রাখুন আসাকরি এই ধরনের যে কোন প্রশ্নের উত্তর করতে পারবেন।

মনে রাখুনঃ [টেকনিক১ঃ যখন কোন পিপা/ট্যাংক ২টি নলের ১টি পানি দ্বারা পূর্ণ করন এবং অপরটি অপসারন রত থাকে তখন- পিপা/ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময়)

T=[mn ÷(m – n)]

এখানে,

m=২য় নল দ্বারা ব্যায়িত সময়

n=১ম নল দ্বারা ব্যায়িত সময়]]

# উদাহরনঃ

প্রশ্নঃ একটি পানির ট্যাংক এ ২টি নল আছে। ১ম নলটি খুলে দিলে ট্যাংক-টি ২০ ঘন্টায় পূর্ন হয়। ২য় নল দ্বারা পূর্ণ ট্যাংক-টি ৩০ ঘন্টায় খালি হয়। ২টি নল একসংগে খুলে দিলে খালি ট্যাংক কত সময়ে পূর্ন হবে?

সমাধানঃ

ট্যাংক পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময় T=[m(৩০)×n(২০) ÷ m

(৩০) – (২০)n]

=(৩০ × ২০) ÷(৩০-২০)

=৬০ ঘন্টা(উঃ)

১০। ক্রমিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র

সুত্র ( যখন ১ হতে শুরু) যোগফল S=শেষ

সংখ্যার অর্ধেক *(শেষ সংখ্যা +১)

যেমন: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক

সংখ্যার যোগফল কত?

যোগফল S=শেষ সংখ্যার অর্ধেক ×

(শেষ সংখ্যা +১)

=৫০×১০১ [এখানে শেষ সংখ্যা ১০০]

=৫০৫০ (উত্তর)

সূত্র ২. ক্রমিক ( যখন ১ হতে ভিন্ন)

সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সুত্র

যেমন:৫ থেকে ৩৫ পর্যন্ত

সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সূত্র: যোগফল=( ১হতে ৩৫ পর্যন্ত

যোগফল)-(১ হতে ৪ পর্যন্ত যোগফল)

=৩৫/২×৩৬-২×৫[ পূর্বের সূত্রানুসারে

তবে এখানে দুটি অংশ]

620

620

বি .দ্র - ৫ হতে ৩৫ পর্যন্ত যোগফল বের করতে বলেছে তাই ১ হতে ৩৫ পর্যন্ত যোগফল বেব করে তা হতে ১ হতে ৪ পর্যন্ত যোগফল ( ৫ এর পূর্ব সংখ্যা হল ৪) বাদ দেওয়া হয়েছে

সূত্র: ৩ ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার

যোগফল S= (মধ্যসংখ্যা)২ [যেখানে

মধ্যসংখ্যা=(১ম সংখ্যা + শেষ

সংখ্যা)/২

উদা: ১+৩+৫+………+২১=?

মধ্যসংখ্যা=(১+২১)/২=১১

যোগফল S=(মধ্যসংখ্যা)২

=(১১)২

=১২১(উত্তর)

সূত্র ৪: ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল

S=মধ্যসংখ্যা×(মধ্যসংখ্যা-১)

উদা: ২+৪+৬+…………..+১০০=?

যোগফল=মধ্যসংখ্যা×(মধ্যসংখ্যা-১)

মধ্যসংখ্যা = (২+১০০)/২

51

Sum=৫১×৫০

2550

টাইপ-১

পরপর ১০টি সংখ্যা দে3য়া দেয়া আছে, ১ম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টির যোগফল কত?

টেকনিক:-১

প্রথম যে কয়টির যোগফল দেয়া থাকবে + যে কয়টি সংখ্যার বের করতে হবে তার বর্গ

শেষ ৫টির যোগফল=১ম পাঁচটির যোগফল + ৫^2

585

585

টাইপ-২

পরপর ৬টি সংখ্যা দেয়া আছে, শেষ ৩টির যোগফল ৩৬ হলে, প্রথম ৩টির যোগফল কত?

টেকনিক:

শেষ যে কয়টির যোগফল দেয়া থাকবে —যে কয়টি সংখ্যার বের করতে হবে তার বর্গ

প্রথম ৩টির যোগফল=১ম ৩টির যোগফল – 3^2)

উত্তর: ৩৬-৩^২

27

27

মনে রাখুন: ১ম পাঁচটি /তিনটি চাইলে যোগ (+) আর শেষের চাইলে বিয়োগ (-)

১১। টপিকস : অনুপাতের মিশ্রণ।

টেকনিক -১

মিশ্রণে যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দু্ইটির পার্থক্য যদি একই হয় তখন

নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ={(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)}X অনুপাতের পার্থক্য।

উদা: ৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত হবে ৩:৭।

লক্ষ্য করুন: এখানে অনুপাতের অন্তর উভয় ক্ষেত্রেই (৭-৩=৪) একই ।

অতএব, সূত্র মতে

নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ={(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)}X অনুপাতের পার্থক্য।

বা, নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(৩০/৩)X ৪

=৪০লিটার । (উত্তর)

টেকনিক -২

মিশ্রণে যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দু্ইটির পার্থক্য যদি ভিন্ন হয় তখন

নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/১মঅনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল। )

উদা: ২৫ গ্রাম একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১। গহনাটিতে আর কতটুকু সোনা যোগ করলে এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:১ হবে?

লক্ষ্য করুন: এখানে অনুপাতের অন্তর উভয় ক্ষেত্রেই ভিন্ন। যেমন: ৪-১=৩ আবার ৫-১=৪।

অতএব , সূত্রমতে

নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/১মঅনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল। )

বা, নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ= ২৫/(৪+১)=৫ (উত্তর)

এখন নিজে নিজে করুন

প্রশ্ন: ১।৩২ লিটার অকটেন- পেট্রোল মিশ্রেনে , পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫:৩। এতে আর কত অকটনে মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত হবে ৪:৫? ।

২।২১লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৪ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৪ হবে?

৩। ৪২গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:৩ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:৩ হবে?

৪। ৩০লিটার পরিমাণ এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩ । ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?

৫। একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম ।সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১ হবে?

৬।৬০লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৭ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৭ হবে?

১২। কাজ ও শ্রমিক সংক্রান্ত কঠিন অংকগুলো করে ফেলুনঃ

নিয়ম-১: ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং

২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি

কতদিনে করতে পারবে?

# 1_টেকনিক = abc / (ab + bc + ca) = (১২ x ১৫ x

২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২)= ৫ দিনে(উঃ)

নিয়ম-২: ৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে

তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?

# 2_টেকনিক : M1D1 = M2D2 বা, ৯ x ৩ = M2 x ৯

বা,M2×৯=২৭ M2=২৭/৯ সুতরাং, M2 = ৩ দিনে(উঃ)

নিয়ম-৩: ৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩

দিনে করতে পারে l ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন

পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে দিন সময়

লাগবে?

# 3_টেকনিকঃT = (M1 x W1 x T1) ÷ (M1W2 +

M2W1) = (৩x৪x২৩)÷(৩x৫ + ৪x২) = ১২ দিন(উঃ)

নিয়ম-৪: যদি নুসরাত একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং

মায়াম্মি ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে নুসরাত এবং

মায়াম্মি একসাথে কাজটি কত দিনে করতে

পারবে?

# 4_টেকনিকঃG = FS÷(F+S) = (১০ x ১৫)÷(১০+১৫)=

৬ দিনে(উঃ)

নিয়ম-৫: যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক ও খ

একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ কাজটি

কতদিনে করতে পারবে?

# 5_টেকনিকঃG = FS÷(F-S) = (১০ x ৬)÷(১০-৬)= ১৫

দিনে(উঃ)

১৩। পরীক্ষায় পাস-ফেল, ও পরীক্ষার্থীর সংখ্যা বিষয়ক

০————————০—-

————————-

সূত্র-১ঃ.উভয় বিষয়ে ফেলের হারউল্লেখ থাকলেউভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

# শর্ট টেকনিকঃ পাশের

হার=১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের

হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার-

উভয় বিষয়ে ফেলের হার )

# উদাহরনঃকোন পরিক্ষায় ২০%

পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০%

পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল

করলো উভয় বিষয়ে ১৩ %

পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা

কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো?

(প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ

(ইছামতি)পরিক্ষা-২০১০)

# সমাধানঃ পাশের হার(?)=১০০-

[১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০) +

২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয়

বিষয়ে ফেলের হার(১৩)]

63

=৬৩%(উঃ)

সূত্র২.উভয় বিষয়ে পাশের হার

উল্লেখ থাকলে উভয়

বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের

ক্ষেত্রে-

# শর্ট টেকনিকঃ ফেলের

হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের

হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার –

উভয় বিষয়ে পাশের হার )

(১ম টির উল্টো নিয়ম)

# উদাহরন১ঃকোন পরিক্ষায় ২০%

পরিক্ষার্থী গনিতে

৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে

ফেল করলো উভয় বিষয়ে

১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে

শতকরা কত জন

পরিক্ষার্থী পাশ করলো?

(প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ

(ইছামতি)পরিক্ষা-২০১০)

# সমাধানঃ পাশের হার(?)=১০০-

[১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+

২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয়

বিষয়ে ফেলের হার

(১৩)]

63

=৬৩%(উঃ)

# উদাহরন২ :যদি প্রশ্নটি এমন হয়-

কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে

৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে

এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে

করে। এবং ৪০% উভয়

বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয়

বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল

করলো?(সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ

পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)

# সমাধানঃ

10

0.1

সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর

১০%=২০%(উঃ)