গণিতের নিয়ে আলোচনা পর্ব-০৪
BIPLOB BLOGGER
প্রতিদিন সকল ধরনের চাকরির খবর আপডেট পেতে আমাদের চ্যানেলটি সাবস্ক্রাইব করবে এবং আপনি যদি এন্ড্রয়েড মোবাইলে আপনার চাকরির বিজ্ঞপ্তি গুলো পেতে চান তাহলে আমাদের একটি অ্যাপস রয়েছে সেটি নিচের দেওয়া লিঙ্ক থেকে ডাউনলোড করে নিতে পারেন
আজকে আমরা প্রায় পরীক্ষায় আসা গুরুত্বপূর্ণ কিচ্ছু বিষয়ক কঠিন অংকগুলো নিয়ে আলোচনা করব।
প্রাণী বিষয়ক
নিয়ম-১: একটি বানর ১০ মিটার লম্বা একটি লাঠি বেয়ে উঠতে লাগল। বানরটি যদি ১ মিনিটে ৫০ সে.মি. উঠে এবং পরবর্তী মিনিটে ২৫ সে.মি. নেমে পড়ে তবে লাঠির মাথায় উঠতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: এক্ষেত্রে লাঠির দৈর্ঘ্যকে (L), উঠা/নামার সময়কে (t), উপরে উঠার মান (R), নিচে নামার মান (F) এবং উপরে উঠার মোট সময় (T) ধরলে নিম্নের নিয়মে সহজে সমাধান করা যায়-
T = [{2L – (R+F)}/{R-F}] x t= [{2x10x100 – (50+25)}/{50-25}] x 1 = 77 sec.
গতিবেগ এবং দূরত্ব
নিয়ম-০১: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৪ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেল এবং ঘন্টায় ৩ কি.মি. বেগে চলে ফিরে আসল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
উত্তর: গড় গতিবেগ = 2mn/(m+n) = 2x4x3/(4+3) = 24/7 km/hr.
নিয়ম-০২: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৪০ কি.মি. বেগে ২ ঘন্টা এবং ঘন্টায় ৬০ কি.মি. বেগে আরো ২ ঘন্টা গাড়ি চালালেন। তার গাড়ির গতিবেগ কত?
উত্তর: গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/ সময় = [(৪০x২)+(৬০x২)]/[২+২] = ২০০/৪ = ৫০ কি.মি./ঘন্টা
পাইপ এবং চেৌবাচ্চা
নিয়ম-০১: সম্পূর্ণ খালি একটি চেৌবাচ্চা একটি নল দিয়ে ২০ মিনিটে সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। ২য় একটি নল দিয়ে ৩০ মিনিটে সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। নল দুটি একই সাথে খুলে দিলে কত সময়ে চেৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে?
উত্তর: চেৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে = XY/(X+Y)= (20x30)/(20+30) = 600/50 = 12 min.
নিয়ম-০২: একটি চেৌবাচ্চার প্রথম নল দিয়ে পূর্ণ হতে সময় লাগে ২০ মিনিট। দ্বিতীয় নল দিয়ে খালি হতে ৩০ মিনিট সময় লাগে। অর্ধ পূর্ন অবস্থায়, নল দুইটি একই সাথে খুলে দিলে কত সময়ে চেৌবাচ্চাটি খালি হবে?
উত্তর: চেৌবাচ্চাটি খালি হতে সময় লাগবে = X(-Y)/(X-Y)= (20x-30)/(20-30) = -600/-10 = 60 min.
নিয়ম-০৩: একটি চেৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একই সাথে খুলে দিলে চেৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
উত্তর: চেৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে = XYZ/(XY+YZ+ZX)
= [(10X12x15)]/[(10X12)+(12X15)+(15X10)]
= 1800/450 = 4 min.
গড়
নিয়ম-০১: ৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
উত্তর: প্রশ্নমতে, (৬+৮+১০)/৩ = (৭+৯+ক)/৩
সুতরাং, ক = ৮
নৌকা_স্রোত
নৌকা_স্রোত সংক্রান্ত অংক গুলো করে ফেলুন মাত্র ২৫/৩০ সেকেন্ডে
নিয়ম-১: নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.। স্রোতের বেগ কত?
সর্টকাট: স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে
নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি.
এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার
বেগ কত?
সর্টকাট: নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার
বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
.
#উত্তর: স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫
কি.মি. স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
সর্টকাট: মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) +
(মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]
= [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)]
= ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫
কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
উত্তর:
সর্টকাট: গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫: এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
সর্টকাট: গড় গতিবেগ
= 2mn/(m+n)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
= ১৫/২ কি.মি
পাস-ফেল
পরীক্ষায় পাস-ফেল, ও পরীক্ষার্থীর সংখ্যা বিষয়ক
সূত্র-১ঃ উভয় বিষয়ে ফেলের হারউল্লেখ থাকলেউভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ পাশের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার- উভয় বিষয়ে ফেলের হার )
উদাহরনঃকোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরিক্ষা-২০১০)
সমাধানঃ পাশের হার(?)=১০০- [১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০) +
২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)]
=১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
সূত্র২. উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ ফেলের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের
হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার - উভয় বিষয়ে পাশের হার )
(১ম টির উল্টো নিয়ম)
উদাহরন১ঃ কোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো?
(প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরিক্ষা-২০১০)
সমাধানঃ পাশের হার(?)=১০০- [১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+
২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার (১৩)]
=১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
উদাহরন২ :যদি প্রশ্নটি এমন হয়- কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে
করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো?
(সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)
সমাধানঃ
=১০০-(৭০+৬০-৪০)
=১০%
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর ১০%=২০%(উঃ)
সূত্র-৩ঃউভয় বিষয়ে ফেল এবং পাশের উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণ্যয়ের ক্ষেত্রেঃ
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
{ উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র /(১ম বিষয়ে ফেল+২য় বিষয়ে ফেল +উভয় বিষয়ে ফেল)} ×১০০
উদাহরনঃকোন স্কুলে ৭০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ৮০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো।কিন্তু ১০% পরিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো।উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে?
(২৩তম বিসিএস)
সমাধানঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
[উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০) / {১ম বিষয়ে ফেল (১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল ১০} x ১০০
= { ৩৬০ / ( ৩০+২০+১০) ×১০০}
=৬০০
সূত্র-৪ঃকোন একটি বিষয়ে পাশের হার ও ফেলের সংখ্যা উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয়ের ক্ষেত্রেঃ
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী= {ফেলের সংখ্যা / (১০০-ফেলের হার)} ×১০০
উদাহরনঃ কোন পরিক্ষায় ৮৫% ছাত্র ইংরেজীতে পাশ করেছে
ইংরেজীতে ফেলের সংখ্যা মোট ৭৫ জন হলে পরিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?
সমাধানঃ মোট পরিক্ষার্থী=
[ফেলের সংখ্যা(৭৫)/ {১০০-ফেলেরহার(১০০-৮৫=১৫)}]×১০০
= ৭৫ / (১০০-১৫) ×১০০
=৮৮.২৪(উ )
কাজ ও শ্রমিক
কাজ ও শ্রমিক সংক্রান্ত কঠিন অংকগুলো করে ফেলুন
নিয়ম-১: ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং
২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিক
= abc / (ab + bc + ca)
= (১২ x ১৫ x ২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২)
= ৫ দিনে (উঃ)
নিয়ম-২: ৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?
টেকনিক:
M1D1 = M2D2
বা, ৯ x ৩ = M2 x ৯
বা,M2×৯=২৭
M2=২৭/৯
সুতরাং, M2 = ৩ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৩: ৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩
দিনে করতে পারে l ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন
পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে দিন সময়
লাগবে?
টেকনিকঃ
T = (M1 x W1 x T1) ÷ (M1W2 + M2W1)
= (৩x৪x২৩)÷(৩x৫ + ৪x২)
= ১২ দিন(উঃ)
নিয়ম-৪: যদি নুসরাত একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং
মায়াম্মি ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে নুসরাত এবং মায়াম্মি একসাথে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ
G = FS÷(F+S)
= (১০ x ১৫)÷(১০+১৫)
=৬ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৫: যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক ও খ
একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ
G = FS÷(F-S)
= (১০ x ৬)÷(১০-৬)
= ১৫ দিনে (উঃ)
চৌবাচ্চা সংক্রান্ত
যখন ২টি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন:
প্রয়োজনীয় সময় T=[mn ÷(m + n)]
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচ্চা ২টি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ ও ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দু'টি নল একসংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
(এই প্রশ্নটা রেলওয়ে সহ কঃ;/পি.এস.সি.সঃপরিঃ/বি.এস.টি আই সহ মোট' ৯টি পরীক্ষায় আসছে)
সমাধানঃ
প্রয়োজনীয় সময় T=[mn ÷ (m + n)]
=(৩০ × ২০) ÷ (৩০ + ২০)
=১২ মিনিট (উঃ)
চলুনএকটু ভিন্ন ধরনের ১টি অংক দেখা যাকঃ
প্রশ্নঃসম্পুর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘন্টায় সম্পুর্ণ ভর্তি করা যায়। ২য় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৩ ঘন্টা সময় লাগে। ২টি পাইপ একসংগে ব্যাবহার করে চৌবাচ্চাটি 2/3 অংশ পূর্ন করতে কত সময় লাগবে?
লক্ষ করুন, প্রশ্নটি ১৮ তম বিসি এস.-এ আসছে। প্রশ্নের শেষে লিখা আছে দু'টি পাইপ একসংগে খুলে দিলে।চৌবাচ্চাটি 2/3 অংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?]
(পুরো চৌবাচ্চা'টির পুর্ণ হওয়ার কথা প্রশ্নে উল্লেখ না করে; শেষে যদি (2/3; অংশ 5/4; অংশ 1/2;অংশ) পুর্ণ হতে
কত সময় লাগে এভাবে উল্লেখ থাকে; তবে আপনি যত অংশ বলবে তত দিয়ে পাশে অথবা উত্তরকে গুন করে দিবেন।)
যেমনঃ
প্রয়োজনীয় সময়T=[mn ÷ (m +n) × ২/৩]
=[(৩ × ৫)÷(৩+৫) × ২/৩ ]
=৫/৪ ঘন্টা (উঃ)
(নতুন কিছুই হয়নি শুধু ২/৩ দিয়ে গুন করে দিলাম।)
কাজ ও শ্রমিক
কাজ ও শ্রমিক সংক্রান্ত অংকের সমাধান
নিয়ম-১:
ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিক = abc / (ab + bc + ca)
= (১২ x ১৫ x ২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২)= ৫ দিনে (উঃ)
নিয়ম-২:
৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?
টেকনিক : M1D1 = M2D2
বা, ৯ x ৩ = M2 x ৯
বা, M2×৯=২৭
M2=২৭/৯
সুতরাং, M2 = ৩ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৩:
৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩ দিনে করতে পারে l ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে দিন সময় লাগবে?
টেকনিকঃ T = (M1 x W1 x T1) ÷ (M1W2 + M2W1)
= (৩x৪x২৩)÷(৩x৫ + ৪x২)
= ১২ দিন(উঃ)
নিয়ম-৪:
যদি নুসরাত একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং মায়াম্মি ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে নুসরাত এবং মায়াম্মি একসাথে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ G = FS÷(F+S)
= (১০ x ১৫)÷(১০+১৫)
= ৬ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৫:
যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক ও খ একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ G = FS÷(F-S)
= (১০ x ৬)÷(১০-৬)
= ১৫ দিনে(উঃ)
নৌকা স্রোত
নৌকা স্রোত সংক্রান্ত অংক গুলো করে ফেলুন মাত্র ২৫/৩০ সেকেন্ডে। অংক নিয়ে সবাই ভয় পায়। আর ভয় নয়, অংক করুন সহজেই এবং বিভিন্ন টেকনিকে।
নিয়ম-১:
নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.। স্রোতের বেগ কত?
টেকনিক –
স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২:
একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
টেকনিক –
নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩:
নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
উত্তর : স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫ কি.মি. স্রোতের প্রতিকূলে
নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
টেকনিক –
মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)] = [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)] = ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪:
একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫ কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
টেকনিক –
গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫:
এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
টেকনিক –
গড় গতিবেগ= 2mn/(m+n)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
= ১৫/২ কি.মি
গণিতের কঠিন বিষয় গুলো আমরা সহজ করে বিশ্লেষণ করে আপনাদের সামনে তুলে ধরছি। ফেসবুক লাইক করেও এই সমধান গুলো দেখতে পারবেন।
বানরের বাঁশে ওঠা সংক্রান্ত
এই সকল অংক গুলো জানার জন্য শুধু মাত্র ১টি টেকনিক মনে রাখুন। এটাইপের ১টি অংক প্রাইমারীতে থাকে। ভাগ্য ভালো হলে কমন পড়ে যেতে পারে।
যেমনঃ
১. যখন বানর তৈলাক্ত বাশের মাথায় নির্দিষ্ট সময় উঠে এবং নির্দিষ্ট সময়ে নামে তখন-
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ একটি বানর ৯২ ফুট উচু একটা তৈলাক্ত বাশ বেয়ে উপরে উঠতে লাগল। বানরটি প্রথম মিনিটে ১২ ফুট ওঠে, কিন্তু দ্বিতীয় মিনিটে ৮ ফুট নেমে যায়। বাশের মাথায় উঠতে বানরটির কত মিনিট সময় লাগে?
শর্টটেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
={(৯২-১২)÷(১২-৮)}*২+১=(৮০/৪)*২+১
=৪১মিনিট (উঃ)
পিপা ট্যাংক চৌবাচ্চা সংক্রান্ত
মাত্র২টি___গুরুত্বপুর্ণ টেকনিক মনে রাখলেই,,, টেকনিকে এই ধরনের সকল অংক করা সম্ভব।
১. যখন কোন পিপা/ ট্যাংক দুইটি নলের ১টি পানি দ্বারা পূর্নকরণ এবং অপর অপসারণরত থাকে তখন –
পিপা/ ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময়=mn÷(m-n)
এখানে, m=২য় নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
n= ১ম নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
যেমন-
প্রশ্নঃএকটি চৌবাচ্চা একটি নল দ্বারা ১০ ঘন্টায় পূর্ন হয়। তাতে একটি ছিদ্র থাকায় পূর্ণ হতে ১৫ ঘন্টা লাগে। ছিদ্র দ্বারা চৌবাচ্চাটি খালি হতে কত সময় লাগবে?
শর্টটেকনিক:
(১৫*১০) ÷ (১৫-১০)= ৩০ঘন্টা
২. যখন দুইটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন-
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
যেমন-
প্রশ্নঃএকটি চৌবাচচা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়।দুটি নল এক সংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
শর্টটেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
=৩০*২০÷(৩০+২০)=১২ মিনিট
নৌকা ও স্রোত সংক্রান্ত গনিত
১. নৌকার বেগ-
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮কি . মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কিলোমিটার যায়। নৌকার বেগ কত?
শর্টটেকনিক:
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
=(৮+৪)÷২=৬কি . মি.
২. যখন নৌকাটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে আবার পূর্বের স্থানে ফিরে আসে তখন-
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
এখানে,
d=মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব
p=নৌকার বেগ
q=স্রোতের বেগ
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫কি . মি. । নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘন্টা সময় লাগবে?
শর্টটেকনিক:
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
=৪৫{১÷(১০+৫)+১÷(১০-৫)}=১২ ঘন্টা
কাজ ও সময় সংক্রান্ত গনিত
(৩০ সেকেন্ডে অংক গুলো করে পেলুন মাত্র ৫টি টেকনিকে)
১. কাজ,সময়ও লোক উল্লেখ থাকলে-
১ম লোক( M1) *১ম সময় ( T1) =২য় লোক ( M2) *২য় সময় (T2)
বা,, ২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময়÷ ২য় লোক
যেমন-
প্রশ্নঃ ১০জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮জন লোকের ঐ কাজটি করতে কতদিন লাগবে?
শর্টটেকনিক:
২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
২য় সময় (D2 ) = ১০*২০÷৮=২৫ দিন।
২. কাজের ক্ষেত্রে পুরুষ= স্ত্রী/ বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং ১ম সময় উল্লেখ থাকলে ২য় সময়-
T2=T1÷(৩য় লোকসংখ্যা/ ১ম লোকসংখ্যা+৪র্থ লোকসংখ্যা/ ২য় লোকসংখ্যা।
(এখানে T1 =১ম সময় T2=২য় সময়)
যেমন-
প্রশ্নঃ ২জন পুরুষ বা তিনজন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, চার জন পুরুষ এবং ৯ জন বালক তার দ্বিগুন কাজ কত দিনে করতে পারে?
শর্টটেকনিক:
T2=১৫÷(৪/২+৯/৩)=৩দিনে
৩. কোন কাজ দুজনে নির্দিষ্ট সময় পৃথকভাবে শেষ করলে একত্রে কাজ করার ক্ষেত্রে-
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময়(m)*২য় সময়(n))÷(১ম সময়(m)+২য় সময়(n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক একা ৬ দিনে এবং খ একা ১২ দিনে শেষ করলে ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্টটেকনিক:
=১২*৬÷(১২+৬)=৪দিনে
৪. কোন কাজ দুই জনে নির্দিষ্ট সময় একত্রে করতে পারলে একজনের একা কাজটি শেষ করতে-
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময় (m)*২য় সময় (n))÷(১ম সময়(m)-২য় সময়(n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক এবং খ ১২ দিনে এবং ক একা ২০ দিনে শেষ করলে , খ একা কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্টটেকনিক:
=(২০*১২)÷(২০-১২)= ৩০ দিনে
৫. দুই ব্যক্তি কাজ শুরু করার পর একজন চলে গেলে কাজ শেষ হওয়ার সময়,যদি একজনের কাজের সময় অপর জনের দ্বিগুন হয় তবে-
কাজ শেষ হওয়ার সময়=২/৩*(D1+D3)
(এখানে, D1=১ম সময় D1=৩য় সময়)
যেমন-
প্রশ্নঃ ক একটি কাজ ১২দিনে এবং খ ২৪ দিনে করতে পারে।তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েক দিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল।
শর্টটেকনিক:
=২/৩*(১২+৩) =১০দিনে
প্রতিযোগিতার রাজ্যে অল্প পড়ে অন্যদের চেয়ে অনেক বেশি মনে রাখতে টেকনিকের বিকল্প নেই। তাই এই গুলো ৮/১০বার প্র্যকটিস করুন। হয়ে যাবে ।
বাংলাদেশ রেলওয়েতে একটি নতুন নিয়োগ বিজ্ঞপ্তি প্রকাশিত হয়েছে পদের
নামঃ খালাসী
পদ সংখ্যা:-১০৮৬ জন
আবেদনের শেষ তারিখ:-২৬ই জানুয়ারি ২০২২। ও বিস্তারিত জানুন নিচের দেওয়া ভিডিওটিতে
নামঃ খালাসী
পদ সংখ্যা:-১০৮৬ জন
আবেদনের শেষ তারিখ:-২৬ই জানুয়ারি ২০২২। ও বিস্তারিত জানুন নিচের দেওয়া ভিডিওটিতে
প্রাণী বিষয়ক
নিয়ম-১: একটি বানর ১০ মিটার লম্বা একটি লাঠি বেয়ে উঠতে লাগল। বানরটি যদি ১ মিনিটে ৫০ সে.মি. উঠে এবং পরবর্তী মিনিটে ২৫ সে.মি. নেমে পড়ে তবে লাঠির মাথায় উঠতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: এক্ষেত্রে লাঠির দৈর্ঘ্যকে (L), উঠা/নামার সময়কে (t), উপরে উঠার মান (R), নিচে নামার মান (F) এবং উপরে উঠার মোট সময় (T) ধরলে নিম্নের নিয়মে সহজে সমাধান করা যায়-
T = [{2L – (R+F)}/{R-F}] x t= [{2x10x100 – (50+25)}/{50-25}] x 1 = 77 sec.
গতিবেগ এবং দূরত্ব
নিয়ম-০১: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৪ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেল এবং ঘন্টায় ৩ কি.মি. বেগে চলে ফিরে আসল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
উত্তর: গড় গতিবেগ = 2mn/(m+n) = 2x4x3/(4+3) = 24/7 km/hr.
নিয়ম-০২: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৪০ কি.মি. বেগে ২ ঘন্টা এবং ঘন্টায় ৬০ কি.মি. বেগে আরো ২ ঘন্টা গাড়ি চালালেন। তার গাড়ির গতিবেগ কত?
উত্তর: গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/ সময় = [(৪০x২)+(৬০x২)]/[২+২] = ২০০/৪ = ৫০ কি.মি./ঘন্টা
পাইপ এবং চেৌবাচ্চা
নিয়ম-০১: সম্পূর্ণ খালি একটি চেৌবাচ্চা একটি নল দিয়ে ২০ মিনিটে সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। ২য় একটি নল দিয়ে ৩০ মিনিটে সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। নল দুটি একই সাথে খুলে দিলে কত সময়ে চেৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে?
উত্তর: চেৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে = XY/(X+Y)= (20x30)/(20+30) = 600/50 = 12 min.
নিয়ম-০২: একটি চেৌবাচ্চার প্রথম নল দিয়ে পূর্ণ হতে সময় লাগে ২০ মিনিট। দ্বিতীয় নল দিয়ে খালি হতে ৩০ মিনিট সময় লাগে। অর্ধ পূর্ন অবস্থায়, নল দুইটি একই সাথে খুলে দিলে কত সময়ে চেৌবাচ্চাটি খালি হবে?
উত্তর: চেৌবাচ্চাটি খালি হতে সময় লাগবে = X(-Y)/(X-Y)= (20x-30)/(20-30) = -600/-10 = 60 min.
নিয়ম-০৩: একটি চেৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একই সাথে খুলে দিলে চেৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
উত্তর: চেৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে = XYZ/(XY+YZ+ZX)
= [(10X12x15)]/[(10X12)+(12X15)+(15X10)]
= 1800/450 = 4 min.
গড়
নিয়ম-০১: ৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
উত্তর: প্রশ্নমতে, (৬+৮+১০)/৩ = (৭+৯+ক)/৩
সুতরাং, ক = ৮
নৌকা_স্রোত
নৌকা_স্রোত সংক্রান্ত অংক গুলো করে ফেলুন মাত্র ২৫/৩০ সেকেন্ডে
নিয়ম-১: নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.। স্রোতের বেগ কত?
সর্টকাট: স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে
নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি.
এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার
বেগ কত?
সর্টকাট: নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার
বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
.
#উত্তর: স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫
কি.মি. স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
সর্টকাট: মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) +
(মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]
= [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)]
= ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫
কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
উত্তর:
সর্টকাট: গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫: এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
সর্টকাট: গড় গতিবেগ
= 2mn/(m+n)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
= ১৫/২ কি.মি
পাস-ফেল
পরীক্ষায় পাস-ফেল, ও পরীক্ষার্থীর সংখ্যা বিষয়ক
সূত্র-১ঃ উভয় বিষয়ে ফেলের হারউল্লেখ থাকলেউভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ পাশের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার- উভয় বিষয়ে ফেলের হার )
উদাহরনঃকোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরিক্ষা-২০১০)
সমাধানঃ পাশের হার(?)=১০০- [১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০) +
২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)]
=১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
সূত্র২. উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ ফেলের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের
হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার - উভয় বিষয়ে পাশের হার )
(১ম টির উল্টো নিয়ম)
উদাহরন১ঃ কোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো?
(প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরিক্ষা-২০১০)
সমাধানঃ পাশের হার(?)=১০০- [১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+
২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার (১৩)]
=১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
উদাহরন২ :যদি প্রশ্নটি এমন হয়- কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে
করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো?
(সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)
সমাধানঃ
=১০০-(৭০+৬০-৪০)
=১০%
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর ১০%=২০%(উঃ)
সূত্র-৩ঃউভয় বিষয়ে ফেল এবং পাশের উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণ্যয়ের ক্ষেত্রেঃ
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
{ উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র /(১ম বিষয়ে ফেল+২য় বিষয়ে ফেল +উভয় বিষয়ে ফেল)} ×১০০
উদাহরনঃকোন স্কুলে ৭০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ৮০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো।কিন্তু ১০% পরিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো।উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে?
(২৩তম বিসিএস)
সমাধানঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
[উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০) / {১ম বিষয়ে ফেল (১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল ১০} x ১০০
= { ৩৬০ / ( ৩০+২০+১০) ×১০০}
=৬০০
সূত্র-৪ঃকোন একটি বিষয়ে পাশের হার ও ফেলের সংখ্যা উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয়ের ক্ষেত্রেঃ
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী= {ফেলের সংখ্যা / (১০০-ফেলের হার)} ×১০০
উদাহরনঃ কোন পরিক্ষায় ৮৫% ছাত্র ইংরেজীতে পাশ করেছে
ইংরেজীতে ফেলের সংখ্যা মোট ৭৫ জন হলে পরিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?
সমাধানঃ মোট পরিক্ষার্থী=
[ফেলের সংখ্যা(৭৫)/ {১০০-ফেলেরহার(১০০-৮৫=১৫)}]×১০০
= ৭৫ / (১০০-১৫) ×১০০
=৮৮.২৪(উ )
কাজ ও শ্রমিক
কাজ ও শ্রমিক সংক্রান্ত কঠিন অংকগুলো করে ফেলুন
নিয়ম-১: ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং
২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিক
= abc / (ab + bc + ca)
= (১২ x ১৫ x ২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২)
= ৫ দিনে (উঃ)
নিয়ম-২: ৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?
টেকনিক:
M1D1 = M2D2
বা, ৯ x ৩ = M2 x ৯
বা,M2×৯=২৭
M2=২৭/৯
সুতরাং, M2 = ৩ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৩: ৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩
দিনে করতে পারে l ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন
পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে দিন সময়
লাগবে?
টেকনিকঃ
T = (M1 x W1 x T1) ÷ (M1W2 + M2W1)
= (৩x৪x২৩)÷(৩x৫ + ৪x২)
= ১২ দিন(উঃ)
নিয়ম-৪: যদি নুসরাত একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং
মায়াম্মি ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে নুসরাত এবং মায়াম্মি একসাথে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ
G = FS÷(F+S)
= (১০ x ১৫)÷(১০+১৫)
=৬ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৫: যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক ও খ
একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ
G = FS÷(F-S)
= (১০ x ৬)÷(১০-৬)
= ১৫ দিনে (উঃ)
চৌবাচ্চা সংক্রান্ত
যখন ২টি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন:
প্রয়োজনীয় সময় T=[mn ÷(m + n)]
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচ্চা ২টি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ ও ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দু'টি নল একসংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
(এই প্রশ্নটা রেলওয়ে সহ কঃ;/পি.এস.সি.সঃপরিঃ/বি.এস.টি আই সহ মোট' ৯টি পরীক্ষায় আসছে)
সমাধানঃ
প্রয়োজনীয় সময় T=[mn ÷ (m + n)]
=(৩০ × ২০) ÷ (৩০ + ২০)
=১২ মিনিট (উঃ)
চলুনএকটু ভিন্ন ধরনের ১টি অংক দেখা যাকঃ
প্রশ্নঃসম্পুর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘন্টায় সম্পুর্ণ ভর্তি করা যায়। ২য় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৩ ঘন্টা সময় লাগে। ২টি পাইপ একসংগে ব্যাবহার করে চৌবাচ্চাটি 2/3 অংশ পূর্ন করতে কত সময় লাগবে?
লক্ষ করুন, প্রশ্নটি ১৮ তম বিসি এস.-এ আসছে। প্রশ্নের শেষে লিখা আছে দু'টি পাইপ একসংগে খুলে দিলে।চৌবাচ্চাটি 2/3 অংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?]
(পুরো চৌবাচ্চা'টির পুর্ণ হওয়ার কথা প্রশ্নে উল্লেখ না করে; শেষে যদি (2/3; অংশ 5/4; অংশ 1/2;অংশ) পুর্ণ হতে
কত সময় লাগে এভাবে উল্লেখ থাকে; তবে আপনি যত অংশ বলবে তত দিয়ে পাশে অথবা উত্তরকে গুন করে দিবেন।)
যেমনঃ
প্রয়োজনীয় সময়T=[mn ÷ (m +n) × ২/৩]
=[(৩ × ৫)÷(৩+৫) × ২/৩ ]
=৫/৪ ঘন্টা (উঃ)
(নতুন কিছুই হয়নি শুধু ২/৩ দিয়ে গুন করে দিলাম।)
কাজ ও শ্রমিক
কাজ ও শ্রমিক সংক্রান্ত অংকের সমাধান
নিয়ম-১:
ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিক = abc / (ab + bc + ca)
= (১২ x ১৫ x ২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২)= ৫ দিনে (উঃ)
নিয়ম-২:
৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?
টেকনিক : M1D1 = M2D2
বা, ৯ x ৩ = M2 x ৯
বা, M2×৯=২৭
M2=২৭/৯
সুতরাং, M2 = ৩ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৩:
৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩ দিনে করতে পারে l ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে দিন সময় লাগবে?
টেকনিকঃ T = (M1 x W1 x T1) ÷ (M1W2 + M2W1)
= (৩x৪x২৩)÷(৩x৫ + ৪x২)
= ১২ দিন(উঃ)
নিয়ম-৪:
যদি নুসরাত একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং মায়াম্মি ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে নুসরাত এবং মায়াম্মি একসাথে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ G = FS÷(F+S)
= (১০ x ১৫)÷(১০+১৫)
= ৬ দিনে(উঃ)
নিয়ম-৫:
যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক ও খ একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ G = FS÷(F-S)
= (১০ x ৬)÷(১০-৬)
= ১৫ দিনে(উঃ)
নৌকা স্রোত
নৌকা স্রোত সংক্রান্ত অংক গুলো করে ফেলুন মাত্র ২৫/৩০ সেকেন্ডে। অংক নিয়ে সবাই ভয় পায়। আর ভয় নয়, অংক করুন সহজেই এবং বিভিন্ন টেকনিকে।
নিয়ম-১:
নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.। স্রোতের বেগ কত?
টেকনিক –
স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২:
একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
টেকনিক –
নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩:
নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
উত্তর : স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫ কি.মি. স্রোতের প্রতিকূলে
নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
টেকনিক –
মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)] = [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)] = ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪:
একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫ কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
টেকনিক –
গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫:
এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
টেকনিক –
গড় গতিবেগ= 2mn/(m+n)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
= ১৫/২ কি.মি
গণিতের কঠিন বিষয় গুলো আমরা সহজ করে বিশ্লেষণ করে আপনাদের সামনে তুলে ধরছি। ফেসবুক লাইক করেও এই সমধান গুলো দেখতে পারবেন।
বানরের বাঁশে ওঠা সংক্রান্ত
এই সকল অংক গুলো জানার জন্য শুধু মাত্র ১টি টেকনিক মনে রাখুন। এটাইপের ১টি অংক প্রাইমারীতে থাকে। ভাগ্য ভালো হলে কমন পড়ে যেতে পারে।
যেমনঃ
১. যখন বানর তৈলাক্ত বাশের মাথায় নির্দিষ্ট সময় উঠে এবং নির্দিষ্ট সময়ে নামে তখন-
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ একটি বানর ৯২ ফুট উচু একটা তৈলাক্ত বাশ বেয়ে উপরে উঠতে লাগল। বানরটি প্রথম মিনিটে ১২ ফুট ওঠে, কিন্তু দ্বিতীয় মিনিটে ৮ ফুট নেমে যায়। বাশের মাথায় উঠতে বানরটির কত মিনিট সময় লাগে?
শর্টটেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
={(৯২-১২)÷(১২-৮)}*২+১=(৮০/৪)*২+১
=৪১মিনিট (উঃ)
পিপা ট্যাংক চৌবাচ্চা সংক্রান্ত
মাত্র২টি___গুরুত্বপুর্ণ টেকনিক মনে রাখলেই,,, টেকনিকে এই ধরনের সকল অংক করা সম্ভব।
১. যখন কোন পিপা/ ট্যাংক দুইটি নলের ১টি পানি দ্বারা পূর্নকরণ এবং অপর অপসারণরত থাকে তখন –
পিপা/ ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময়=mn÷(m-n)
এখানে, m=২য় নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
n= ১ম নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
যেমন-
প্রশ্নঃএকটি চৌবাচ্চা একটি নল দ্বারা ১০ ঘন্টায় পূর্ন হয়। তাতে একটি ছিদ্র থাকায় পূর্ণ হতে ১৫ ঘন্টা লাগে। ছিদ্র দ্বারা চৌবাচ্চাটি খালি হতে কত সময় লাগবে?
শর্টটেকনিক:
(১৫*১০) ÷ (১৫-১০)= ৩০ঘন্টা
২. যখন দুইটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন-
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
যেমন-
প্রশ্নঃএকটি চৌবাচচা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়।দুটি নল এক সংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
শর্টটেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
=৩০*২০÷(৩০+২০)=১২ মিনিট
নৌকা ও স্রোত সংক্রান্ত গনিত
১. নৌকার বেগ-
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮কি . মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কিলোমিটার যায়। নৌকার বেগ কত?
শর্টটেকনিক:
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
=(৮+৪)÷২=৬কি . মি.
২. যখন নৌকাটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে আবার পূর্বের স্থানে ফিরে আসে তখন-
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
এখানে,
d=মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব
p=নৌকার বেগ
q=স্রোতের বেগ
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫কি . মি. । নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘন্টা সময় লাগবে?
শর্টটেকনিক:
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
=৪৫{১÷(১০+৫)+১÷(১০-৫)}=১২ ঘন্টা
কাজ ও সময় সংক্রান্ত গনিত
(৩০ সেকেন্ডে অংক গুলো করে পেলুন মাত্র ৫টি টেকনিকে)
১. কাজ,সময়ও লোক উল্লেখ থাকলে-
১ম লোক( M1) *১ম সময় ( T1) =২য় লোক ( M2) *২য় সময় (T2)
বা,, ২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময়÷ ২য় লোক
যেমন-
প্রশ্নঃ ১০জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮জন লোকের ঐ কাজটি করতে কতদিন লাগবে?
শর্টটেকনিক:
২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
২য় সময় (D2 ) = ১০*২০÷৮=২৫ দিন।
২. কাজের ক্ষেত্রে পুরুষ= স্ত্রী/ বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং ১ম সময় উল্লেখ থাকলে ২য় সময়-
T2=T1÷(৩য় লোকসংখ্যা/ ১ম লোকসংখ্যা+৪র্থ লোকসংখ্যা/ ২য় লোকসংখ্যা।
(এখানে T1 =১ম সময় T2=২য় সময়)
যেমন-
প্রশ্নঃ ২জন পুরুষ বা তিনজন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, চার জন পুরুষ এবং ৯ জন বালক তার দ্বিগুন কাজ কত দিনে করতে পারে?
শর্টটেকনিক:
T2=১৫÷(৪/২+৯/৩)=৩দিনে
৩. কোন কাজ দুজনে নির্দিষ্ট সময় পৃথকভাবে শেষ করলে একত্রে কাজ করার ক্ষেত্রে-
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময়(m)*২য় সময়(n))÷(১ম সময়(m)+২য় সময়(n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক একা ৬ দিনে এবং খ একা ১২ দিনে শেষ করলে ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্টটেকনিক:
=১২*৬÷(১২+৬)=৪দিনে
৪. কোন কাজ দুই জনে নির্দিষ্ট সময় একত্রে করতে পারলে একজনের একা কাজটি শেষ করতে-
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময় (m)*২য় সময় (n))÷(১ম সময়(m)-২য় সময়(n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক এবং খ ১২ দিনে এবং ক একা ২০ দিনে শেষ করলে , খ একা কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্টটেকনিক:
=(২০*১২)÷(২০-১২)= ৩০ দিনে
৫. দুই ব্যক্তি কাজ শুরু করার পর একজন চলে গেলে কাজ শেষ হওয়ার সময়,যদি একজনের কাজের সময় অপর জনের দ্বিগুন হয় তবে-
কাজ শেষ হওয়ার সময়=২/৩*(D1+D3)
(এখানে, D1=১ম সময় D1=৩য় সময়)
যেমন-
প্রশ্নঃ ক একটি কাজ ১২দিনে এবং খ ২৪ দিনে করতে পারে।তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েক দিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল।
শর্টটেকনিক:
=২/৩*(১২+৩) =১০দিনে
প্রতিযোগিতার রাজ্যে অল্প পড়ে অন্যদের চেয়ে অনেক বেশি মনে রাখতে টেকনিকের বিকল্প নেই। তাই এই গুলো ৮/১০বার প্র্যকটিস করুন। হয়ে যাবে ।
☞ এই পোষ্ট সম্পর্কে যদি আপনার কোন প্রশ্ন☞জিজ্ঞাসা☞সমস্যা☞তথ্য জানার থাকে তাহলে আপনি☞কমেন্ট করলে আপনাকে আমরা প্রয়োজনীয় তথ্য দিয়ে সাহায্য করার চেষ্টা করব☞☞☞ "গণিতের নিয়ে আলোচনা পর্ব-০৪ "
Post a Comment